Có hai phong bì, một phong bì chứa số tiền gấp đôi phong bì còn lại. Bạn được chọn một phong bì ngẫu nhiên và mở ra để xem số tiền bên trong. Sau đó, bạn có lựa chọn: giữ lại phong bì đã chọn hoặc đổi sang phong bì còn lại.
Suy luận:
Giả sử bạn mở phong bì và thấy số tiền là . Suy luận để quyết định có nên đổi phong bì hay không thường như sau:
Phong bì còn lại có thể chứa hoặc .
Xác suất cho mỗi trường hợp là .
Giá trị kỳ vọng khi đổi phong bì là:
Vì lớn hơn , nên có vẻ như bạn luôn có lợi khi đổi phong bì.
Nghịch lý:
Nghịch lý xuất hiện vì suy luận trên dường như cho thấy bạn luôn có lợi khi đổi phong bì, bất kể số tiền bạn nhìn thấy trong phong bì đã chọn là bao nhiêu. Giả sử có 2 phong bì là A và B. Đầu tiên bạn chọn A, nhưng vì suy luận bên trên, bạn sẽ đổi thành B để có lợi hơn. Tuy nhiên, sau khi đổi thành B, lại cũng vì suy luận trên, bạn lại đổi thành A để có kỳ vọng cao hơn nữa. Như vậy, có vẻ như bạn sẽ tăng số tiền lên đến vô hạn nếu bạn cứ tiếp tục đổi phong bì liên tục!?!??!
VẬY SAI LẦM NẰM Ở CHỖ NÀO?
Giải thích:
Sai lầm nằm ở chỗ khi đặt vấn đề, chúng ta đã quên mất cố định tổng giá trị của các phong bì là . Như vậy, kỳ vọng được tính lại theo cách đúng đắn như sau:
Nếu phong bì chuyển đổi gấp đôi giá trị của phòng bì chọn ban đầu, thì để cố định tổng giá trị là , giá trị phong bì ban đầu phải là và phong bì chuyển đổi là , bạn sẽ lời .
Nếu phong bì chuyển đổi bằng một nửa giá trị của phòng bì chọn ban đầu, thì để cố định tổng giá trị là , giá trị phong bì ban đầu phải là và phong bì chuyển đổi là , bạn sẽ lỗ .
Như vậy tính ra kỳ vọng số lời nếu đổi phong bì sẽ là: . Rõ ràng, theo cách tính này chúng ta sẽ không hề có lời nếu đổi phong bì.