Mọi người ai học qua môn xác suất thống kê đều đã từng vô cùng “vật vã“ với công thức của Phân Phối Chuẩn (hay phân phối Gaussian):

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}}}$$

Với:

• $f(x)$ — là hàm mật độ của phân bố

• $\mu$ — là giá trị trung bình

• $\sigma$ — là độ lệch chuẩn

Bài viết này mình chỉ đơn thuần cố gắng giải thích công thức nhằm giúp bạn đọc hiểu rõ hơn ý nghĩa của nó, và từ đó, hy vọng rằng bạn đọc sẽ cảm thấy nó dễ nhớ hơn.

Một số tiêu chuẩn mấu chốt

• Hàm số có dạng hình chuông

• Đối xứng tại giá trị trung bình $x=\mu$

• Có tích phân từ $-\mathrm{\infty }$ đến $\mathrm{\infty }$ là $1$

• Hai điểm uốn tại $x=\mu -\sigma$ và $x=\mu +\sigma$: $f^{\prime \prime }(\mu \pm \sigma )=0$

Bản chất của hàm $e^{-x^2}$

Đầu tiên, hàm số $e^{-x^2}$ có dạng hình chuông. Thực ra về bản chất, mọi hàm số mũ có dạng $a^{-x^2}$ đều có dạng hình chuông đối xứng tại giá trị $x=0$, không nhất thiết phải là cơ số $e$. Thật vậy, vì với mọi $a>0$ ta luôn có thể biến đổi $a=e^k$ với $k=\ln a$.

Lúc đó ta có: $a^{-x^2}=(e^k{)}^{-x^2}=e^{-k{x}^2}$. Sở dĩ, số $e$ được chọn là vì để dễ liên tưởng đến hàm số mũ (exponential).

Hàm mật độ $f(x)$ thỏa ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1}$

Ta có: ${\displaystyle f(x)=e^{-x^2}⟹{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$. Tham khảo chứng minh ở bài viết của mình ở đây.

Như vậy, để thỏa mãn có tích phân toàn miền là $1$, ta phải đem nhân với $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$, hàm số trở thành ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}⟹{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=1}$

Đối xứng tại giá trị trung bình $x=\mu$

Để thỏa mãn tính chất này, thực chất ta dời “hình chuông“ đến điểm $x=\mu ⟹x-\mu =0$. Như vậy hàm số biến đổi thành ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2}}$

Hai điểm uốn $x=\mu -\sigma ,x=\mu +\sigma$, đối xứng tại $\mu$

Để đơn giản tính toán, ta tạm thời gác qua các giá trị $\mu ,\sigma$. Xét hàm số ${\displaystyle f(x)=e^{-x^2}}$, ta có:

$$\begin{array}{rl}& \text{Given }f(x)=e^{-x^2},\text{let }u=-x^2⟹u^{\prime }=-2x,v=e^u,v^{\prime }=e^u\\ & ⟹f^{\prime }(x)=u^{\prime }.v^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}\\ & \text{Calculate }{f}^{″}(x):\text{ applying product rule: }(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u\\ & \text{ with }u=-2x,u^{\prime }=-2,v=e^{-x^2},v^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}\\ & ⟹f^{″}(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}=(4x^2-2)f(x)\end{array}$$

Như vậy, để $f^{″}(x)=0⟹x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Để điểm uốn tại điểm $x=1.0$, ta đưa $\frac{1}{2}$ vào giá trị số mũ và khử đi bằng cách nhân với $\frac{1}{\sqrt{2}}$ để bảo toàn tích phân, hàm số lúc này trở thành ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^2}}$

Trị số $\sigma$ là độ lệch chuẩn của phân phối. Trị số này cũng thể hiện cho bề rộng của hàm số, $\sigma$ càng lớn, hàm số càng rộng và ngược lại. Ta đưa luôn $\sigma$và hàm số, và khử để bảo toán tích phân để có công thức cuối cùng:

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}}}$$

Demo

• Thay đổi giá trị $\mu$, đồ thị sẽ trượt đi theo trục $x$

• Thay đổi giá trị $\sigma$, hàm số sẽ thao đổi bề rộng / hẹp