Vâng, chính xác là 97.4%, không hề đùa! Điều này nghe có vẻ phi lý vì có tới 365 ngày trong một năm (hoặc 366 nếu tính năm nhuận), mà chỉ có 50 em, tại sao xác suất 2 em trùng ngày sinh lại cao đến vậy?

Giải thích

Thay vì tính trực tiếp xác suất có hai người trùng ngày sinh, ta sẽ tính xác suất không có ai trùng ngày sinh, sau đó lấy phần bù.

• Bạn thứ nhất: Bạn này có thể có sinh nhật vào bất kỳ ngày nào trong năm, không có hạn chế.

• Bạn thứ hai: Để không trùng với bạn thứ nhất, bạn này chỉ có 364 ngày có thể chọn.

• Bạn thứ ba: Để không trùng với hai bạn trước, bạn này chỉ có 363 ngày có thể chọn.

• …

• Bạn thứ 50: Để không trùng với 49 bạn trước, bạn này chỉ có 316 ngày có thể chọn.

Xác suất để không có ai trùng ngày sinh là:

${\displaystyle \frac{365}{365}\times \frac{365}{365}\times \dots \frac{316}{365}=0.025568...=2.6\mathrm{\%}}$

Vậy xác suất để có 2 bạn cùng ngày sinh là phần bù:

${\displaystyle 1-(\frac{365}{365}\times \frac{365}{365}\times \dots \frac{316}{365})=0.9744\cdots =\boxed{{\displaystyle 97.4\mathrm{\%}}}}$

Nghịch lý này không phải là một nghịch lý theo nghĩa logic, mà là một kết quả toán học đi ngược lại trực giác thông thường.

Ứng dụng

Nghịch lý ngày sinh nhật có ứng dụng trong khoa học máy tính, đặc biệt là trong các thuật toán băm (hashing) và phát hiện va chạm (collision detection). Nó cũng cho thấy rằng ngay cả trong những tình huống có vẻ như có xác suất thấp, sự trùng hợp vẫn có thể xảy ra với tần suất đáng ngạc nhiên.